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    考研數學:泰勒公式與等價無窮小替換的區別

    發布日期:2021-02-19 10:55:51  來源:貴州中公考研

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      在考研數學中,利用等價無窮小替換或泰勒公式來計算極限是常考的考點。然而很多同學對于等價無窮小替換求解極限的運用不夠靈活甚至常常犯錯。究其原因主要有兩個:一是學生平時努力不夠,對于常見的等價無窮小沒有準確記憶并且對于此類求極限問題缺少練習;二是對于等價無窮小替換的實質還沒有達到透徹的理解,使用的原則存在錯記、混記的現象。

      比如練習時有這樣的題目:

     

      有這樣的解法:

     

      從解答過程中可以看出,學生不論前提條件是否滿足而生搬硬套地使用等價無窮小替換法則,反映出學生對于該法則的使用沒有達到本質的理解。我們知道等價無窮小替換原則是:只能適用于乘除法中,也就是說只能作為乘除因子時才可以使用,而在該題目中,分子中是減法運算不能直接替換,故該方法是錯誤的。

      而泰勒公式的好處就是將極限問題化繁為簡,即把涉及到的函數全部轉化為有理函數。比如

    ,左右兩邊是等號相連接,只要當
    時,該式都是成立的都可以使用,比等價無窮小替換使用的范圍更廣。

     

      下面我們結合泰勒公式來重新理解等價無窮小替換的一些法則和原理(假設所有極限中涉及的自變量變化過程都是趨向于零)

      性質:

     

      我們簡單證明一下:若

    ,根據等價無窮小的定義可得:

     

      即:

    ;

     

      

    ;

     

      

    ;

     

      最初學生對于右邊式子中的

    會覺得比較抽象難以理解,我們可以結合泰勒公式來形象直觀的理解。以正弦函數的泰勒公式為例:

     

      如果

    ,那么
    可以取x,或
    ,或
    ;

     

      則:相應的

    分別為:
    ,所以
    并不是抽象的符號,實際代表著具體的表達式,而且該表達式很復雜,由多個式子組成,所以簡寫成用
    來表示。

     

      那么在具體的極限題目中,利用泰勒公式具體應該展開到哪一項呢?我們有一個原則就是“上下同階”。比如在前面的例題中,由于分母是

    ,所以我們只展開到第二項就可以了,即:
    ;
    故上題中正確的作法應為:

     

      

     

      所以在求解極限問題的思路中利用泰勒公式比等價無窮小替換法則更一般、更普遍,在解決問題時往往傾向于接受和使用那些放之四海而皆準的思路和方法,關于等價無窮小替換和泰勒公式的使用,同學們要后期多加練習。

      以上是上貴州研究生招生信息網小編為大家整理的“考研數學:泰勒公式與等價無窮小替換的區別”相關內容,更多考研相關內容盡在貴州中公考研數學頻道。為了考生們更好的復習,貴州中公考研為廣大學子推出樂學面授課等備考課程,針對每一個科目要點進行深入的指導分析,歡迎各位考生了解咨詢。

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